2014年河北选调生：不定方程的解法

　　不定方程问题一直以来是公考中的热点题型，值得各位考生关注，而不定方程中由于题目中给出的信息比较少，所以对考生来说是一类不容易把握的题目，下面笔者就和大家探讨一下公考中不定方程的解法。

　　一、不定方程—求具体未知数

　　【例1】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?( )

　　A.3，7 B.4，6

　　C.5，4 D.6，3

　　【答案】A

　　【解析】本题目是不定方程问题。设大盒子的个数为x，小盒子的个数为y，根据题意：11x+8y=89，在这个方程中不难看出89是奇数、8y是偶数，那么11x应该为奇数，说明x是偶数，排掉B、D两个选项，A、C中代入任何一个即可，代入A选项，满足题意，所以答案选择A。

　　【点拨】遇到不定方程问题如果求具体某一个未知数的数值考虑代入排除法，同时结合数字特性，比如奇偶特性。

　　【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

　　A.36 B.37

　　C.39 D.41

　　【答案】D

　　【解析】本题目是不定方程问题。设每个钢琴教师所带学生人数为x，每个拉丁舞教师所带学生人数为y，根据题意：5×x+6×y=76，其中不难看出76、6×y是偶数，那么5×x应该为偶数，说明x是偶数，x又是质数，那么x=2，依此解得y=11，所以剩下的学员人数=4×2+3×11=41。选择D。

　　【点拨】同样是不定方程问题，需要求出未知数的确切数值才能解题，而选项没有提供具体未知数信息时，考虑数字数字特性，本题目利用奇偶特性。

　　【例3】99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每盒装12个苹果，小包装盒每盒装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?( )

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【答案】D

　　【解析】本题目是不定方程问题。设大包装盒的个数为x，小包装盒的个数为y，根据题意：12x+5y=99。在这个方程中不难看出99是奇数、12x是偶数，那么5y应该为奇数，y是奇数;并且经过分析发现99和12x都是3的倍数，那么5y应该也是3的倍数，说明y是3的倍数。那么y既是奇数又是3的倍数，只能取3、9、15、21…. 当y=3时，x=7(不满足题意);当y=9时，x=4.5(不满足题意);当y=15时，x=2;满足题意，x-y=13。所以答案选择D。

　　除了考虑整除特性也可以考虑尾数特性，我们已经确定5y是为奇数，那么其尾数一定是5，说明12x尾数一定是4，那么x只能等于2或7，当x=7时，y=3 (不满足题意);当x=2时，y=15，满足题意，x-y=13。所以答案选择D。

　　【点拨】同样是不定方程问题，需要求出未知数的确切数值才能解题，而选项没有提供具体未知数信息时，考虑数字数字特性，本题目利用奇偶特性、整除特性以及尾数特性。

　　从以上3个例题我们可以看出，这类不定方程一般需要我们求出具体的x或y的数值，才能得到题目中要求的答案，而解决这类不定方程问题常需要使用代入排除思想，同时还需要考虑奇偶特性和整除特性的应用。

　　二、不定方程—求整体

　　【例4】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱?( )

　　A.10元 B.11元

　　C.17元 D.21

　　【答案】A

　　【解析】(一)本题目是不定方程问题。设签字笔、圆珠笔和铅笔的价格分别是x、y、z，根据题意：3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，两个方程三个未知数解不出来具体的数值，但是问题需要的是x+y+z的值，可以考虑配系数，第一个方程乘以3、第二个方程乘以2之后二者相减，刚好得到x+y+z=10。

　　(二)本题目问题需要的是x+y+z的值，x、y、z具体数值不影响最终结果，可以使用赋值法令其中一个未知数y=0，此时解得：x=11，z=-1，x+y+z=10。选择A。

　　【例5】去超市购买商品，如果买9件甲商品，5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元;如果买13件甲商品，7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。若甲乙丙商品各买两件，共需多少钱?( )

　　A.88 B.66

　　C.58 D.44

　　【答案】D

　　【解析】(一)本题目是不定方程问题。设甲、乙、丙的价格分别是x、y、z，根据题意：9x+5y+z=72，13x+7y+z=86，两个方程三个未知数解不出来具体的数值，但是问题需要的是2(x+y+z)的值，可以考虑配系数，第一个方程乘以3、第二个方程乘以2之后二者相减，刚好得到x+y+z=44，所以2(x+y+z)=88。

　　(二)本题目问题需要的是2(x+y+z)的值，x、y、z具体数值不影响最终结果，可以使用赋值法令其中一个未知数x=0，此时解得：y=7，z=37，2(x+y+z)=88。选择A。

　　从以上例题我们可以看出，这类不定方程一般需要我们求出整体的数值而不是具体未知数的数值，可以考虑配系数之后整体消去，得到题目中要求的答案;另外这类问题由于不要求未知数的具体数值，也可以考虑赋值法，令其中一个系数最为复杂的未知数的值为0，继而求出其他的未知数得到最终答案。

　　综上所述，考场上如果遇到不定方程问题，需要求未知数的具体数值时，考虑代入排除思想并结合数字性思想，包括奇偶特性、尾数特性以及整除特性;如果要求的是整体的数值，那么考虑配系数或者赋值法解题。希望各位考生仔细揣摩，在考试中取的好成绩。

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