主站
忘记密码？注册
【导读】最新教师招聘、特岗教师招聘信息、教师资格证备考资料，请查看京佳教育官方网站（http://www.jingjia.org/）。
招教考试中学数学学科专业知识（第十二章第四节）
第四节 线性空间
一、线性空间 ★★★
1.线性空间的定义
设V是一个非空集合，其元素用x、y、z 等表示；K是一个数域，其元素用k，l，m等表示.
（1）在V中定义一个“加法”运算，即当x、y∈V时，有唯一的和x+y∈V（封闭性），且加法运算满足下列性质：
① 结合律：x+（y+z）=（x+y）+z；
② 交换律：x+y=y+x；
③ 零元律：存在零元素0，使x+0=x；
④ 负元律：对于任一元素x∈V，存在一元素y∈V，使x+y=0，则称y为x的负元素，记为-x.则有x+（-x）=0.
（2）在V中定义一个“数乘”运算（数与向量的乘法），即当x∈V，k∈K时，有唯一的kx∈V（封闭性），且数乘运算满足下列性质：
① 数因子分配律：k(x+y)=kx+ky；
② 分配律：(k+l)x=kx+lx；
③ 结合律：k(lx)=(kl)x；
④ 恒等律：1x=x.
注意：
线性空间不能离开某一数域来定义.因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同.
当数域K为实数域时，V就称为实线性空间；K为复数域时，V就称为复线性空间.
真题点睛
设R+＝{全体正实数}，其“加法”及“数乘”运算定义为
x+y=xy,k·x=xk
证明：R+是实数域R上的线性空间.
【老师点评】 （1）唯一性和封闭性
唯一性：显然若x>0,y>0,k∈R，则有x+y=xy∈R+，k·x=xk∈R+.
封闭性得证.
（2）八条性质
① x+（y+z）=x(yz)=(xy)z=(x+y)+z
② x+y=xy＝yx=y+x
③ 1是零元素x+1＝x·1=x［x+0=x→x+0=x→0=1］
④ 1x是x的负元素x+1x＝x·1x=1［x+y=0］
⑤ k·（x+y）=（xy）k=xkyk=k·x+k·y［数因子分配律］
⑥ （k+1）·x=xk+1=xkx1=（k·x）+（1·x）［分配律］
⑦ k·（1·x）=（x1）k=xk1=（k1）·x［结合律］
⑧ 1·x=x′=x［恒等律］
由此可证，R+是实数域R上的线性空间.
2.线性空间的性质
（1）线性空间V的零元素是唯一的，任一元素的负元素也是唯一的.
（2）线性空间V中，若x∈V,k∈K，则恒等式成立：0x=0，(-1)x=(-x)，k0=0.
3.线性相关性
线性组合：
?x1,x2…xm∈V,c1,c2…cm∈K
c1x1+c2x2+…+cmxm?∑mi=1cixi
称为元素组x1,x2,…,xm的一个线性组合.
线性表示：V中某个元素x可表示为其中某个元素组的线性组合，则称x可由该元素组线性表示.
线性相关性：如果存在一组不全为零的数c1，c2,…,cm∈K，使得对于元素x1，x2,…,xm∈V有
∑mi=1cixi=0
则称元素组x1,x2,…,xm线性相关，否则称其线性无关.
4.线性空间的维数
线性空间V中最大线性无关元素组所含元素个数称为V的维数，记为dimV.
声明：本站点发布的招聘信息具体以原文公告为准
推荐阅读
电话：0371-60998699/60198699
地址：河南省科技馆内京佳教育2号楼(花园路与丰产路交叉口向南100米路西)
电话：0371-60998699/60198699 4000711689
地址：河南司法警官职业学院培训中心（郑东新区金水东路与明理路交叉口向东50米路北）
电话：0371-60998699/60198699 4000711689
地址：郑州市高新区国家863中部软件园9号楼4楼418
电话：4000711689 0371-60998699/60198699
地址：郑州市航空港区华夏大道和通航路交叉口（中国·中原人力资源服务产业园区A座4楼3A07)
电话：0371-22379539 17719096069
地址：开封市大梁路西环路交叉口东南角 开封银地商楼5楼
电话：18538936747
地址：洛阳市西工区体育场路5号港乾大厦820室
电话： 0371-60998699/60198699
电话：0372—3688826/16637206527/17550895068
地址：安阳市文峰区中华路与明福街交叉口义乌商贸大厦23楼
电话： 0371-60998699/60198699
电话：13733805834（同微信）
地址：新乡市卫滨区普利A座18楼1811京佳教育新乡分校
电话：0371-60998699/60198699
电话：0374-8588116 18639231659
地址：许昌市魏都区八一路魏文路交叉口东30米路南
电话：0371-60998699/60198699
电话：0371-60998699/60198699
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：15518179886/18603871861
地址：周口市川汇区川汇路与新民路交叉口南五十米(川汇区委区政府对面)
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0372—3688826 16637206527 17550895068
地址：安阳市文峰区中华路与明福街交叉口义乌商贸大厦23楼
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：13700731260
地址：辉县市文昌大道与学院路交叉路口东侧100路南（御墅院小区西侧）
电话：0374-8368278/18864668838
地址：禹州市滨河路与轩辕路交叉口天然气加气站对面京佳教育
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：17518986068
地址：人民路南段老花厂口（时代银座东）
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：0371-60998699/60198699
地址：京佳教育河南分校
电话：15517610266
地址：信阳市光山县中医院对面向南100米
电话：18839052867
地址：济源市济渎大街与沁园路交叉口东南400米
电话：16650056669
地址：河南省周口市鹿邑县谷阳路558号
电话：15514026333
地址：林州市人民路中段富达商厦向东200米
电话：13071718253
地址：汝州市风穴路142号2楼
电话：13525863391 13569626117
地址：卢氏县春晖苑东门口万和超市二楼
电话：029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话： 029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话： 029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话： 029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话： 029-85205500 85205511 15802955575
地址：渭南市临渭区仓程路辅路景园小区西门京佳教育渭南分校
电话：029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话：029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话：029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话：029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话： 029-85205500 85205511 15802955575
地址：西安市雁塔区城南含光南路216号嘉翔大厦9楼京佳教育
电话：400 870 6781
电话：0400 870 6781
电话：0400 870 6781
电话：13611364656
地址：杭州市余杭区杭泰路117号
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话： 15972448833
地址：湖北省恩施州建始县广润社区朝阳大道117号
电话：4000711689
电话：4000711689
电话： 0530一5119868 17605409940 17605409785
地址：山东省菏泽市牡丹区太原路永泰大厦1306室(中华路与太原路交叉口 简泽电视台东邻)
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：19213369312
地址：河北省保定市蠡县金地家园对面
电话：400-870-6781
电话：13667379291 13667393986
地址：湖南省长沙市长沙县星沙东一路丽枫酒店5楼502室
电话：4000711689
地址：北京市东城区法华南里34号楼
电话：17547542345 13947562516
地址：内蒙古通辽市科尔沁区前进路与明仁大街交叉路口宝地商厦三楼
电话：400 071 1689
电话：400 071 1689
电话：张老师13579209581 周老师18197599135
地址：新疆乌鲁木齐市天山区时代广场A座15G室
电话：0901-6282601
地址：新疆塔城市喀拉墩街3号
电话：杨老师 18799428033 李老师 18690992627 罗老师 13209969292
地址：新疆昌吉回族自治州昌吉市南公园西路与西外环交汇处融投小镇2-A-103号
Copyright 2007 - 2025 Jingjia.org All Rights Reserved
