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一、不定方程常用解法汇总
1、利用奇偶性求解
自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律：
奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数;
奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。
例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=?
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】B。
解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。
2、利用尾数法求解
适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。
例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是?
A.5B.6C.7D.8
【答案】C。
解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。
3、利用整除特性求解
适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。
例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=?
A.11 B.12 C.13 D.14
【答案】B。
解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。[page]
二、真题演练
1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?
A.3B.4C.7D.13
【答案】D。
解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。
设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十多个。对于这个不定方程，我们注意到：y的系数为5，5y的尾数只能是5、0，那么对应的12x的尾数只能为4或者9，而12x为偶数，故尾数只能为4。此时 ，只有当 x=2或者x =7时才能满足这一条件。
当x=2时 ，y=15 ，x+y=17 ，正好满足条件，所以y-x=13;
当x=7时 ，y=3 ，x+y=10 ，不符合条件。
综上所述，只能选择D。
2、某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?
A. 36B. 37C. 39D. 41
【答案】D。
解析：此题初看无处入手，条件仅仅有每位教师所带学生数量为质数，条件较少，无法直接利用数量关系来推断，需利用方程法。
设每位钢琴教师带x名学生，每位拉丁舞教师带y名学生，则x、y为质数，且5x+6y=76。对于这个不定方程，需要从整除性、奇偶性或质合性来解题。
很明显，6y是偶数，76是偶数，则5x为偶数，x为偶数。然而x又为质数，根据“2是唯一的偶质数”可知，x=2，代入原式则y=11。
现有4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，则剩下学员4×2+3×11=41人。因此选择D。
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