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招教考试中学数学学科专业知识(第十章第一节)
第一节 极限
一、数列的极限 ★★★
1.数列极限的定义
设an是一个无穷数列,A是一个常数,如果对于预先给定的任意小的正数ε,总存在正整数N,使得只要正整数n>N,就有|an-A|<ε,那么就说数列an以A为极限(或A是数列an的极限),记作limn→∞an=A.
2.数列极限的运算法则
如果limn→∞an=A,limn→∞bn=B,那么
(1)limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn=A±B;
(2)limn→∞(an·bn)=limn→∞an·limn→∞bn=A×B;
(3)limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn=AB(B≠0);
(4)limn→∞(c·an)=c·limn→∞an=cA(c为常数).
极限运算法则中的各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到无限个.在商的运算法则中,要注意对式子的恒等变形,有些题目分母不能直接求极限.
3.特殊数列的极限
(1)limn→∞C=C(C为常数).
(2)limn→∞an=0(|a|<1),1(a=1),不存在(|a|>1或a=-1).
(3)limn→∞1na=0(a>0的常数).
(4)limn→∞a0xk+a1xk-1+…+akb0xl+b1xl-1+…+bl=a0b0(当k=l时),
0(当k<l时),
不存在(当k>l时).
说明:欲求极限的式子中含有项数与n有关的“和式”或“积式”,应先求和或积.
4.常见的数列极限的类型和求法
(1)“00”型,分子、分母分别求和,再转化.
(2)“∞∞”型,分子、分母先求和,再化简,转化求极限.
(3)“∞-∞”型,将其看作分母为1的分式,转化求极限.
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