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招教考试中学数学学科专业知识(第四章第一节)
第一节 函数的概念和基本性质
一、函数的概念 ★
设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数,记作y=f(x),x∈A.
其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域.
二、函数的表示方法 ★
1.函数的三要素: ① 对应法则f;② 定义域A;③ 值域{f(x)|x∈A}.只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为同一函数.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f∶A→B.
这里A,B为非空的数集.
(2)A:定义域,原象的集合,{x|x∈A};f(x):值域,象的集合,{f(x)|x∈A};
f:对应法则,x∈A ,y∈B.
(3)函数符号:y=f(x)?y是x的函数,简记f(x).
2.常见函数的表示方法:
(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0):定义域R, 值域R;
(2)反比例函数f(x)=kx(k≠0):定义域{x|x≠0}, 值域{f(x)|x≠0};
(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为R,值域:当a>0时,y|y≥4ac-b24a;当a<0时,y|y≤4ac-b24a.
说明:在求函数的定义域时,一般情况下应该考虑:
(1)偶次方根的被开方数不小于零;
(2)分母不等于零;
(3)零的零次幂没有意义.
三、函数的基本性质 ★★★
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.
注意:
① 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
② 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,其-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤:
① 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
② 确定f(-x)与f(x)的关系;
③ 作出相应结论:
若f(-x)= f(x) 或 f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x) 或 f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.
(3)简单性质:
① 图象的对称性:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称;
② 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
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